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一道数学题

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— | by : 猛禽

起因是这张照片。

一周前我在世纪公园拍到了这张照片，当时的情况是这样的：我当时手里的机器上装着的是标头，当我看到太阳时，在那楼顶上还可以看到整个太阳。等我用几十秒时间换上长焦镜头后再拍，就是上面那个样子了。

于是我想到一个问题：太阳从整个可以看到，到整个落下去看不到，需要多少时间？

一个简化的模型是：把地球看作一个小圆，太阳看作一个大圆，按地球24小时转一周计算，就是两个圆的内公切线和外公切线在地球上的切点与地心之间夹角A除以圆周再乘以24小时。

之所以要说是简化的模型，是因为地球自转轴相对于公转平面的夹角不是垂直，并且在不同的纬度上自转圆大小也不同。但影响最大的还应该是空气的折射，随着太阳位置与地平面夹角的减小，折射率会变大，也就意味着看上去太阳下落的速度会比实际的要快。

都考虑就太复杂没法做了，所以还是简单点来。

已知数据有：

地球半径r=6378km；太阳半径R=696000km；日地距离D=149600000km

（图懒得画，从略）

由基本的几何定理可以导出，内公切线与外公切线的夹角等于地球转过的角度。

再因为，地球半径远小于日地距离，故忽略不计，则可以得到一对直角三角形。

得方程：

sin(A/2)=R/D

解得：

A=arcsin(R/D)*2=0.00930484640149(rad)

故时间为：

t=A/(2*pi)*24*60*60=127.950822677(s)

也就是说，大约2分钟多一点点的时间。

要是算上自转倾角，纬度，大气折射三个因素，实际上只有大约一分钟的时间。

所以说，好机会都是以秒为单位计算的，快一秒或慢一秒就完全不是一回事了。

4.纯属八卦 | 2007-02-15 10:31